Uitleg over het opstellen van een raaklijn
Een lastig onderdeel van wiskunde B: hoe stel je een raaklijn op aan een cirkel? Toptrainer Jurriaan legt het je uit!
Ik heb als voorbeeldje de volgende functies gekozen. We hebben een cirkelvergelijking en die ziet eruit als: C:〖(x-1)〗^2+y^2=20. Als je even terugdenkt aan de algemene vorm van een cirkelvergelijking, dan kan je als het goed is hieruit afleiden dat het midden van deze cirkel op (1,0) zit en dat de straal van die cirkel de wortel van 20 is. Dan hebben we ook nog een rechte lijn gegeven, lijn k. Die lijn k is:
K:y=-0,5x+b. Die b is onbekend. De vraag is voor welke waarde van b is die lijn k een raaklijn aan de bovenstaande cirkel? Dus wat moet ik op de plek van deze b neerzetten om ervoor te zorgen dat die lijn een raaklijn is aan die cirkel?
Wat is een raaklijn?
Daarvoor gaan we eerst even stilstaan bij wat een raaklijn is. Een lijn is pas een raaklijn aan een cirkel als die lijn en die cirkel maar één punt gemeenschappelijk hebben. Als ze twee punten gemeenschappelijk zouden hebben, dan zou het geen raaklijn zijn, maar dan zou het gewoon een lijn zijn die voorbeeld zo gaat en dus de cirkel in twee punten snijdt. Ik weet dus dat die cirkel en die lijn dus, k en C, die hebben maar één punt gemeenschappelijk. Dat feit ga ik gebruiken om deze opdracht op te lossen.
Hoe vind je de raaklijn van een cirkel?
De eerste stap is om de snijpunten van deze twee dingen uit te rekenen. We weten al dat er, als het goed is, maar één antwoord uitkomt. Hoe vind ik de snijpunten van cirkel en een rechte lijn? Dat deed ik door de rechte lijn, de vergelijking voor de rechte lijn, te substitueren in de cirkelvergelijking. We hebben hier staan: y= … en dat stukje ga ik eigenlijk op de plek van de y neerzetten in de cirkelvergelijking. We krijgen: 〖(x-1)〗^2+ y^2, maar y^2 wordt nu dus 〖(-0,5x+b)〗^2=20. Ik wil dit oplossen, maar ik weet stiekem al dat dat niet gaat lukken, want ik heb een x en een b erin zit, dus ik heb twee onbekenden. Toch ga ik hem even zo netjes mogelijk schrijven, dus ik ga de haakjes uitwerken, alles netjes aan één kant zetten, enzovoorts. We beginnen met die linker haakjes. Daar komt als het goed is uit: x^2-2x+1 en dan gaan we ook nog de rechter haakjes uitwerken en daar komt dan uit: +1/4 x^2. Dan hebben we ook nog een b^2. Verder krijgen we een -xb eruit en staat er aan de rechterkant nog steeds 20.
De haakjes zijn weg, maar het kan nog een stuk netter, dus we kunnen even alle x^2 bij elkaar zetten; we kunnen 20 naar links halen, enzovoorts. Het liefst wil ik hem zo dicht mogelijk in de buurt van een ABC-vorm hebben. Ik heb hier een x^2en daar 1/4 x^2, dus dat wordt samen 1 1/4 x^2. Dan ga ik daarna op zoek naar alle dingen met een x erin. Ik heb hier een -2x en ik heb daar een -xb, dus dat ga ik even als volgt opschrijven: x(-2-b). Wat ik nu nog overhoud is een 1aan deze kant en een 20 aan de andere kant. Ik haal even de 20 naar links en dan wordt dat hier een -19. Dan hebben we ook nog een b^2. Rechts staat er nu =0 Nu heb ik hem netjes in ABC vorm. Dit is de a, dit hier is de b en dit stuk hier is de c.
Ik kan het nog steeds niet oplossen, want ik weet nog steeds niet wat de x en de b zijn, maar omdat ik hem nu in ABC-vorm heb staan, kan ik nu gebruik gaan maken van het feit dat ik weet dat er maar één oplossing moet zijn. Wanneer heeft een ABC-vorm één oplossing? Dat is wanneer de discriminant nul is, dus de discriminant van deze vergelijking, die moet nul zijn. Wat gaan we doen? We gaan de discriminant uitrekenen en die gaan we gelijkstellen aan nul. De discriminant is: D=b^2-4∙a∙c. Ik schrijf hem even op als D=〖(-2-6)〗^2-4∙1 1/4∙(b^2-19). Ik heb hier de discriminant staan en ik weet dat deze gelijk moet zijn aan nul, dus ik mag hier achter zetten =0. Als je nu goed naar de vergelijking kijkt die je op je papier hebt staan, is dit een vergelijking met maar één onbekende erin. Die x is nu verdwenen en ik heb hier alleen mijn b als onbekende staan. Dit is iets wat ik op kan lossen.
Als eerste is het handig om die 4∙1 1/4 als 5 te schrijven. Dat ziet er gewoon ietsje makkelijker uit. Nu hebben we dus een nieuwe vergelijking met één onbekende. Ik kan deze gewoon op gaan lossen, dus ik ga weer de haakjes uitwerken. Beginnen we aan de linkerkant: 〖(-2-b)〗^2 dat wordt hier 4+4b+b^2. Dan gaan we daarna de volgende haakjes uitwerken. Dat wordt: -5b^2. Als laatste hebben we -5∙-19 en dat wordt + 95. Er stond nog = 0 achter. We gaan weer even alles netjes in de goede volgorde zetten, dus alle kwadraatjes eerst. Ik heb hier +b^2 -5b^2=-4b^2
Dan ga ik nu alle dingen met een b opschrijven en dat is alleen deze, dus daar hebben we een +4b. Als laatste schrijven we de dingen op zonder b en dat is een 95 en een 4. Dat wordt bij elkaar 99. Nu heb ik ze allemaal gehad.
Als je nu goed naar kijkt, dan zie je dat dit gewoon een standaard ABC-vorm is en dat betekent dat ik dus weer de ABC formule kan gaan gebruiken. Ik kan hier de discriminant van uitrekenen en dan dus invullen in het laatste stapje van de ABC formule, dus: (-b±√D)/2a en dan vind ik dus de waarde van deze b. Stel even dat je dat zou doen op je papier of op je rekenmachine misschien, dan vind je dat de b gelijk zou moeten zijn aan -4 1/2 of dat de b gelijk zou moeten zijn aan +5 1/2. Waarom vind je nou twee waardes voor b? Hoezo is dat logisch? Dit zijn overigens dus de getallen die je op de plek van deze b neer zou kunnen zetten om ervoor te zorgen dat die lijn k de raaklijn is aan de cirkel. Dat was de opdracht en dat hebben we nu uitgerekend. Waarom is het nou logisch dat het er twee zijn? Er zijn natuurlijk als je naar deze cirkel kijkt twee lijnen met richtingscoëfficiënt -0,5 die een raaklijn zouden kunnen zijn aan die cirkel, namelijk eentje aan de onderkant, maar ook eentje aan de bovenkant van de cirkel. Daarom zie je dus ook deze waardes van b komen daar best wel goed mee overeen. Dit is je antwoord, want dit zou je op de plek van de b kunnen zetten om ervoor te zorgen dat lijn k een raaklijn is aan de cirkel C.
Abonneer op ons YouTube kanaal voor meer video’s!
Nog meer video’s van onze trainers bekijken waarin ze je alles uitleggen over moeilijke vakken? Abonneer je dan op ons Lyceo YouTube kanaal!
Examentraining Wiskunde B volgen?
Met de examentraining Wiskunde B van Lyceo bereid jij je optimaal voor op jouw (eind)examen. De examentrainingen van Lyceo zijn als enige in Nederland bewezen effectief. Dat blijkt uit onafhankelijk onderzoek van SEO Economisch Onderzoek. De examentraining Wiskunde A wordt gegeven door onze deskundige, enthousiaste en ervaren begeleiders. De houding en kennis van onze trainers worden door hun leerlingen met een gemiddeld cijfer van een 8,3 beoordeeld: een cijfer waar we trots op zijn.
Op de pagina Examentraining lees je meer over wat Examentraining bij Lyceo inhoudt.
Op de pagina Oefenexamens wiskunde B kun je veel verschillende oefenexamens vinden.
Op de pagina wiskunde B Tips & Tricks vind je allerlei tips die jouw helpen bij de voorbereiding op je examen.
