Uitleg over perforatie
Vind jij het lastig om de coördinaten van een perforatie te bepalen? Blijf dan kijken!
Wat is een perforatie?
Ik zal beginnen met uitleggen wat een perforatie eigenlijk is. Hier zie je op het bord 3 functies met perforaties geschreven. We kijken eerst naar de functie: F(x)=x. Je ziet hier dat je gewoon de functie y = x hebt, maar dan is er één punt waarop die functie eventjes niet bestaat. Er is één waarde waarvoor we de functie niet kunnen uitrekenen en dat is precies de plek van de perforatie. Alle functies kunnen perforaties hebben, zo ook bijvoorbeeld de functie: G(x)=√x. Deze heeft een perforatie, op x = 2, dus je ziet dat die helemaal loopt als √x, maar dan is er ineens een klein stukje en daar is de functie even niet gedefinieerd. Dat is dan de perforatie in die functie. Hier zie je een functie: H(x)=e^x. Die kan ook een perforatie hebben en deze perforatie is bijvoorbeeld op (e,1).
Wanneer heeft een functie een perforatie?
De eerste vraag die je zou kunnen stellen is, wanneer heeft een functie dan een perforatie? Is dat altijd, bijvoorbeeld als het een breuk is? Dat blijkt niet het geval te zijn, want sommige functies die breuken zijn, zoals 1/x, die hebben asymptoten. Bij asymptoten zijn er ook wel een paar punten niet gedefinieerd, maar die hebben niet een perforatie. Voor een perforatie wil je dat hij echt loopt als een normale functie, maar dat er een klein gaatje in zit waar hij dat eventjes niet kan. De vraag “wanneer heeft een functie een perforatie?” heeft eigenlijk een heel makkelijk antwoord. Dat is namelijk als de boven- en de onderkant van de breuk tegelijk nul opleveren. Er moet een waarde van x zijn waarvoor zowel boven als onder nul staat.
We kunnen bijvoorbeeld even naar dit voorbeeldje kijken. Hier zie je F(x)=(x(x-3))/(x-3). We hadden gezien dat perforatie op x = 3 zat. Als je x = 3 invult dan krijg je hier F(x)=(x∙0)/0, dus daar staat dan inderdaad 0/0. Dan kun je dus concluderen dat die functie op x = 3 en perforatie heeft.
Voor deze werkt dat ook zo. Je ziet hier een functie, √x, lopen en deze functie wordt gegeven door: G(x)=(√x(x-2))/(x-2). Als je hier de x-coördinaat van die perforatie probeert in te vullen, dan krijg je hier: G(x)=(√x∙0)/0. Daar staat ook 0/0, dus deze functie heeft de perforatie bij coördinaat x= 2. De andere functie die we hier nog hebben opgeschreven is e^x. Hier zien we dat de perforatie op 1 zou moeten zijn. Als we dat willen checken, dan zie je dat als je 1 probeert in te vullen, dat je dan hier krijgt: H(x)=(e^1∙0)/0, dus dat is inderdaad 0/0. Dat mag dus uiteraard niet, want mogen niet delen door nul, dus op die plek is er gewoon eventjes geen functiewaarde. Het is dus gemakkelijk om te zien wat de x-coördinaat van perforatie is, maar moeilijker om uit te rekenen wat de y-coördinaten van de perforatie is. Dat zal ik jullie laten zien In het volgende stukje.
Hoe bereken je de y-coördinaat van een perforatie?
We zullen vragen behandelen die in het eindexamen 2017-I stond. Er is een functie
F(P(x)) gegeven, namelijk: (Px^2+4px+6)/((x^2+1)(x-2)). Er is één waarde van P waarvoor de functie een perforatie heeft. Bereken de coördinaten van de perforatie.
We weten dat een functie alleen maar een perforatie heeft als de boven- en de onderkant tegelijk nul zijn. Nu staan er nog allemaal P’tjes in de bovenkant, dus daar kunnen we nog niet zo heel veel over zeggen, maar over de onderkant kunnen we wel zeggen wanneer die nul is. We lossen daarvoor op dat de de onderkant nul moet zijn, dus (x^2+1)(x-2)=0. Je ziet dat (x^2+1)=0 geen oplossing heeft, want dan zou je de wortel moeten pakken van -1, dus deze heeft geen oplossingen. De enige oplossing die hiervoor dus bestaat is x=2, dus we weten al zeker dat er perforatie op x=2 zal moeten plaatsvinden. We weten alleen nog niet voor welke waarde van P de functie een perforatie heeft. Om daarachter te kunnen komen, willen we dat de bovenkant ook nul is bij x=2. We vullen dus x=2 bij de bovenkant in, dan krijg je 4P+8P+6. Dat schrijf je dus als 12P+6 en dat moet nul zijn. 12P+6=0 als P= -1/2. De waarde waarvoor deze functie een perforatie heeft is P= -1/2. Ik heb hier die functie opgeschreven.
Hier staat F_(1/2) (x). Die wordt gegeven door een breuk. Als je nu de coördinaten van de perforatie wil berekenen, dan moet je eigenlijk boven en onder dezelfde factor kunnen wegstrepen. Dat is in het kort wat er gebeurt. Wat we als eerste zouden kunnen proberen, is gewoon maar eens invullen welk getal we denken dat die perforatie heeft. Hij heeft een perforatie op 2, maar als we dat hier invullen, dan zie je dat hier gewoon 0/0 uitkomt en dat mag niet. Dat is een probleem, dus op deze manier kunnen we niet zomaar de coördinaten van de perforatie berekenen.
We zullen dit dus even slim om moeten schrijven, zodat we wel die factoren kunnen wegstrepen. Ik wil uiteindelijk hier twee factoren van maken, maar omdat hier nu -1/2 voor staat, is dat niet zo makkelijk. Ik ga de boven- en de onderkant van de breuk keer -2 doen, zodat er boven x^2 komt te staan in plaats van -1/2 x^2. Hier krijg je dus:
(x^2+4x-12 )/(-2(x+1)(x-2)). Deze kunnen we in haken opschrijven. We willen dus dat er uit de keersom -12 komt en we willen dat uit die plussom 4 komt. Bij x= 6 en x= -2 komt daar precies het goede antwoord uit. We schrijven deze dus om naar:
((x+6)(x-2))/(-2(x^2+1)(x-2)). Nu kun je zien dat boven en onder die factor -2 staat. Dat is handig, want nu kunnen we hem wegstrepen, zoals je dat normaal misschien bij getallen ook zou doen. Het enige probleem hierbij is dat je dat niet mag doen als x=2, want dan deel je eigenlijk door nul en dat mag dan weer niet. Als je dit opschrijft, wees dan voorzichtig en zet dan boven het is-teken altijd als x≠2, want dat is wanneer je ze weg mag strepen. Als x≠2, dan kun je deze wegstrepen en dan blijft er over: (x+6)/(-2(x^2+1)) en dat staat hier. Het grote voordeel van wat we hier hebben staan is dat we hier wel 2 in kunnen vullen en dat zal dan wel de y-coördinaat van perforatie opleveren. Je schrijft dat als lim┬(x→2)〖f_(1/2) (x)〗. Dit is dus de limiet van de functie en die is hetzelfde als de limiet van van deze functie (lim┬(x→2)〖(x+6)/(-2(x^2+1))〗). Hier kunnen we wel x=2
invullen. Hier krijg je dus: 2+6=8 en hier krijg je -2∙5=-10. 8/(-10)=-4/5.
-4/5 is de y—coördinaat van de perforatie. Daarmee heb je dus zowel de x-coördinaat als de y-coördinaat van de perforatie berekent.
Abonneer op ons YouTube kanaal voor meer video’s!
Nog meer video’s van onze trainers bekijken waarin ze je alles uitleggen over moeilijke vakken? Abonneer je dan op ons Lyceo YouTube kanaal!
Examentraining Wiskunde B volgen?
Met de examentraining Wiskunde B van Lyceo bereid jij je optimaal voor op jouw (eind)examen. De examentrainingen van Lyceo zijn als enige in Nederland bewezen effectief. Dat blijkt uit onafhankelijk onderzoek van SEO Economisch Onderzoek. De examentraining Wiskunde A wordt gegeven door onze deskundige, enthousiaste en ervaren begeleiders. De houding en kennis van onze trainers worden door hun leerlingen met een gemiddeld cijfer van een 8,3 beoordeeld: een cijfer waar we trots op zijn.
Op de pagina Examentraining lees je meer over wat Examentraining bij Lyceo inhoudt.
Op de pagina Oefenexamens wiskunde B kun je veel verschillende oefenexamens vinden.
Op de pagina wiskunde B Tips & Tricks vind je allerlei tips die jouw helpen bij de voorbereiding op je examen.
