Uitleg over meetkundige figuren
Vind jij het lastig om de afstand tussen twee meetkundige figuren te berekenen? Blijf dan kijken!
Alle l in formule stand zetten en alle losse letters.
Ik zal jullie uitleggen hoe je afstanden tussen twee meetkundige figuren kan berekenen. We zullen hiervoor vier verschillende voorbeelden behandelen, namelijk de afstand tussen twee punten; de afstand tussen een punt en een lijn; de afstand tussen twee lijnen en de afstand tussen twee cirkels.
Hoe bereken je de afstand tussen twee punten?
We zullen beginnen met degene die jullie waarschijnlijk het vaakst zijn tegengekomen en dat is de afstand tussen twee punten. We nemen hiervoor de punten A: 3,4 en B:1,8. Hier zijn ze getekend en als we hier de afstand tussen willen berekenen, dan kunnen we de stelling van Pythagoras gebruiken of de afstandsformule. Hier kun je zien hoe de stelling van Pythagoras zou werken.
Wij gaan nu even met de afstandsformule werken, maar dat is eigenlijk hetzelfde. We krijgen: d(A,B)=√(〖(X_A-X_B)〗^2+〖(Y_A-Y_B)〗^2 ) en dat de afstand tussen punten A en B. We zien dat X_A=3 en X_B=1, dus je krijgt 〖(3-1)〗^2 en Y: 〖(4-8)〗^2. Daar komt uit
√20, oftewel √(2&5).
Hoe bereken je de afstand tussen een punt en een lijn?
Als je de afstand wil berekenen tussen een punt en een lijn moet je een trucje gebruiken wat te maken heeft met lijnen die loodrecht staan op elkaar. Dat zal ik nu uitwerken. Je ziet hier een lijn l getekend staan en lijn l wordt gegeven door 2x-1. Punt A wordt gegeven door het coördinaat (3,3). De afstand tussen een punt en een lijn, of eigenlijk de afstand tussen twee objecten, wordt altijd gegeven door de kortste afstand tussen die objecten. De kortste afstand tussen A en lijn l is altijd de afstandslijn die loodrecht staat op de lijn l.
Hier heb ik deze lijn als hulplijn getekend en die lijn ga ik m noemen. We gaan proberen om voor lijn m een formule op te stellen. Lijn m wordt gegeven door: y=ax+b. We gaan beginnen met a, de richtingscoëfficiënt, uitrekenen. We weten van lijn m dat die loodrecht moet staan op lijn l en dat gaan we gebruiken om de richtingscoëfficiënt uit te rekenen.
Voor twee lijnen die loodrecht staan op elkaar moet gelden: 〖RC〗_l∙〖RC〗_m=-1. We weten dat de richtingscoëfficiënt van lijn l=2, dus we kunnen uitrekenen dat de richtingscoëfficiënt van m -0,5 moet zijn. Onze lijn m wordt dan dus gegeven door:
y=ax+b waarvan we a net hebben uitgerekend dus: y=-1/2 x+b. Nu willen we b uitrekenen en dat kunnen we doen door een punt in te vullen waar lijn m doorheen gaat.
We weten dat lijn m door punt B gaat, maar punt B weten we niet. We weten wel dat de lijn m door punt A gaat en punt A weten we wel. Dat punt kunnen we hier dus invullen en dan krijg je: 3=-1/2∙3+b en daar rolt uit b=4 1/2 . Nu hebben we dus lijn m opgesteld en lijn l, en nu kunnen we, als we die twee vergelijkingen aan elkaar gelijk stellen, het snijpunt tussen lijnen l en m uitrekenen.
Dat snijpunt is B. Je krijgt dus: m=l: -1/2 x+4 1/2=2x-1. Als je dit oplost, krijg daar krijg je het x-coördinaat: 11/15 en als je dat x-coördinaat invult in een van die twee lijnen, dan krijg je 17/5 als y-coördinaat. Op dit moment weten we dus de coördinaten van dit punt en we weten de coördinaten van punt B. De afstand daartussen is de kortste afstand tussen lijn l en punt A. We kunnen dus nu de afstandsformule gebruiken om de afstand te berekenen tussen A en B. Dat doen we door de afstandsformule in te vullen of door de stelling van Pythagoras te gebruiken. Je zou hier een klein driehoekje kunnen tekenen en dan kun je dat meteen doen.
Hoe bereken je de afstand tussen twee lijnen?
We kunnen ook de afstand berekenen tussen twee lijnen en daarvoor is het handig om te weten dat als de richtingscoëfficiënten van twee lijnen niet hetzelfde zijn, dat dan de kortste afstand tussen die twee lijnen altijd nul is. We kunnen eigenlijk alleen maar spreken van een lengte tussen twee lijnen als die lengte overal steeds constant is, want dan snijden ze niet. Dat is alleen maar als de richtingscoëfficiënten hetzelfde zijn. Hier zien we twee lijnen getekend die dezelfde richtingscoëfficiënt hebben en waar we dus de afstand tussen kunnen berekenen. We weten dat die afstand altijd overal constant is, want ze lopen parallel aan elkaar, dus ze liggen steeds overal even ver van elkaar af. Daardoor kunnen we gewoon een punt uitzoeken op één van die lijnen. Ik heb het punt A gekozen op lijn l, maar je mag kiezen welk punt je wil. Hier zie je dan dat punt A: (1,0). Die ligt op lijn l en als we dan de kortste afstand kunnen berekenen van punt A tot lijn m, dan hebben we de afstand tussen lijnen m en l berekend. Dit kun je doen door middel van het stappenplan wat we hebben behandeld bij de afstand berekenen tussen een punt en een lijn.
Hoe bereken je de afstand tussen twee cirkels?
Je kan ook nog de afstand berekenen tussen twee cirkels. Hier zie je twee cirkels getekend. Dit is cirkel 1 en dit is cirkel 2. Cirkel 1 heeft de vergelijking: C_1:(〖x-1)〗^2+(y-1)^2=1
Cirkel 2 heeft als functie: C_(2:):〖(x-17)〗^2+〖(y-10)〗^2=9
De afstand tussen twee cirkels, of eigenlijk tussen alle objecten, wordt altijd van rand tot rand gemeten, dus niet van middelpunt tot middelpunt.
Ik heb wel die lijnen er even als hulpmiddel bij gezet. Hier kun je zien dat als je de kortste afstand berekent, dan is dat eigenlijk de afstand tussen die twee middelpunten, maar dan moet je de stralen er nog vanaf trekken. Hier zie je dus wat hier in deze formule staat, namelijk de d(C_(1,) C_2 )=d(M_1,M_2 )-r_1-r_2. Je kunt in deze formules makkelijk zien wat wat is. Je ziet dat het middelpunt hier wordt gegeven door (1,1) en de straal is gegeven door: √1=1. Hier is het middelpunt (17,10) en de straal is: √9=3. Daar kunnen we, met de afstandsformule, de afstand tussen berekenen. Dat is wat je hier gegeven ziet staan: d (M_1,M_2 ), maar daar moeten we dan dus nog de lengte van de stralen van aftrekken. De straal van deze was 1 en de straal van die is 3. Je krijgt hier de afstand tussen middelpunt 1 en 2 die je uitrekent met de afstandsformule en daar haal je straal 1 en straal 2 af.
Abonneer op ons YouTube kanaal voor meer video’s!
Nog meer video’s van onze trainers bekijken waarin ze je alles uitleggen over moeilijke vakken? Abonneer je dan op ons Lyceo YouTube kanaal!
Examentraining Wiskunde B volgen?
Met de examentraining Wiskunde B van Lyceo bereid jij je optimaal voor op jouw (eind)examen. De examentrainingen van Lyceo zijn als enige in Nederland bewezen effectief. Dat blijkt uit onafhankelijk onderzoek van SEO Economisch Onderzoek. De examentraining Wiskunde A wordt gegeven door onze deskundige, enthousiaste en ervaren begeleiders. De houding en kennis van onze trainers worden door hun leerlingen met een gemiddeld cijfer van een 8,3 beoordeeld: een cijfer waar we trots op zijn.
Op de pagina Examentraining lees je meer over wat Examentraining bij Lyceo inhoudt.
Op de pagina Oefenexamens wiskunde B kun je veel verschillende oefenexamens vinden.
Op de pagina wiskunde B Tips & Tricks vind je allerlei tips die jouw helpen bij de voorbereiding op je examen.
